『手を動かしてまなぶ 微分積分』
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2019/8/20
§1は高校の領域と被っていたので一気にやってみた
相当嚙み砕かれている
のちに購入した
参考文献として挙げられている書籍
杉浦
一番多く注釈に挙がっている
その他はあとでメモ
目次
1．１変数関数の極限
$ 一変数関数 \overset{\bf{def}}{\iff}\Rの部分集合で定義され、\Rに値をとる関数
def.2.1
$ a\in \Rとし、$ f(x)を$ x = aの近くで定義された関数とする。
fxがx = aで定義されている必要はない
$ x\neq aをみたしながら$ xを$ aに十分近づければ、$ f(x)をある$ l \in \Rに限りなく近づけることができるとき
$ \lim_{x\rightarrow a}f(x)=l
$ f(x)\rightarrow l\qquad(x\rightarrow a)
$ f(x)は$ x\rightarrow aのとき極限$ lに収束する
すべて同じこと
$ x\neq aをみたしながら$ xを$ aに十分近づければ、$ f(x)を限りなく大きくできるとき
$ \lim_{x\rightarrow a}f(x)=+\infin
$ f(x)\rightarrow +\infin\qquad （x\rightarrow a）
負の無限大も同様の定義
$ x>aをみたしながら...と置き換えた場合
$ \lim_{x\rightarrow a+0}f(x)= lと表し、$ lを右極限という
$ x<aをみたしながら
$ \lim_{x\rightarrow a-0}=l
左極限
$ \lim_{x\rightarrow a+0}=\lim_{x\rightarrow a-0}=lのとき極限が定義される
ex.2.1
$ a,l\in\Rとすると、定数関数$ f(x)=lの極限について
code:tex
\begin{align}\lim_{x\rightarrow a}l &= l,\lim_{x\rightarrow a+0}=l,\lim_{x\rightarrow a-0}=l\\
\lim_{x\rightarrow a}x &= a,\lim_{x\rightarrow a+0}x=a,\lim_{x\rightarrow a-0}=a\end{align}
が成り立つ。
行番号いらんhoshihara.icon
あとでしらべる
ex.2.2
$ x>1のとき、$ |x-1|=x-1なので
$ \lim_{x\rightarrow 1+0}\frac{2x-2}{|x-1|}=\lim_{x\rightarrow 1+0}\frac{2(x-1)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1+0}2=2
$ x<1のとき、$ |x-1|=-(x-1)なので
$ \lim_{x \rightarrow 1-0}\frac{2x-2}{|x-1|}=\lim_{x \rightarrow 1-0}\frac{2(x-1)}{-(x-1)}=-2
極限なし
ex.2.3
関数$ f(x)=\frac{1}xの極限
$ \lim_{x\rightarrow +0}\frac{1}{x}=+\infin
間違えとる
いやあってる
$ \lim_{x\rightarrow -0}\frac{1}x=\xcancel{+\infin}\color{red}-\infin
$ \therefore極限なし
関数の極限の定義その2
1は？$ a\in \Rとし、fxを$ \textcolor{red}{x =}aの十分近くで定義された関数とするとき、$ \lim_{\xcancel{a\rightarrow x}}f(x)=\alphaとなるときの値$ \alphaのことですか？
$ x\rightarrow aだわ。
$ \alpha\in\R
定義2.2
どのような$ c\in \Rに対してもcより大きなある数$ x_0\in \Rで$ f(x_0)\in \Rが定められるような関数$ f(x)に対しては、
連続を定義しているということか？hoshihara.icon
いや違う。右方向に無限に定義されている関数という条件。
関数$ f(x)に対して、$ xを十分大きくすれば、$ f(x)をある$ l\in\Rに限りなく近づけることができるとき
$ \lim_{x\rightarrow +\infin}f(x)=l
$ f(x)は$ x\rightarrow +\infinのとき極限$ lに収束する
と定める。
ex.2.4
$ f(x) = \frac{1}xは$ x\ne 0となるすべての$ x\in \Rに対して定義されるので、極限$ \lim_{x\rightarrow + \infin}f(x)=0
この関数は$ x\ne0で連続だから条件をみたしているといえる？
ex.2.5
$ \lim_{x\rightarrow +\infin}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x=eを示す。
$ x>1のとき、$ n\in \Nを$ n\le x<n + 1となるように選んでおく。
このとき、$ 1 +\frac{1}{n+1}<1+\frac{1}{x}\le 1+\frac{1}nが成り立つ。
?
理解、指数の大小関係か
ここで、
$ \lim_{n\rightarrow \infin}\left( 1+\frac{1}{n + 1}\right)^n=\lim_{n\rightarrow \infin}\left( 1+\frac{1}{n + 1}\right)^{n+1}\cdot\frac{1}{1+\frac{1}{n + 1}}
$ = \lim_{n\rightarrow \infin}\left( 1+\frac{1}{n + 1}\right)^{n + 1}\cdot \lim_{n\rightarrow \infin}\frac{1}{1+\frac{1}{n + 1}}
$ = \lim_{m\rightarrow \infin}\left(1 + \frac{1}{m}\right)^m\cdot\lim_{m\rightarrow \infin}\frac{1}{1+\frac{1}{m}}
$ \because m = n + 1とおくと,$ n\rightarrow\infinのとき$ m \rightarrow \infin.
$ = e \cdot\frac{1}{1 + 0}=e.
また、
$ \lim_{n\rightarrow \infin}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n + 1} = \lim_{n\rightarrow \infin}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\cdot\frac{1}{1+\frac{1}{n}}
$ =e\cdot(1 + 0)
$ =e.
時間がかかりすぎるので、ここからはとりあえず一周するために定理と定義だけ拾って問題を解くことに集中する。
th.2.1
$ a\in \Rとし、$ f(x),g(x)を$ x=aの近くで定義された関数とする。$ l, m\in\Rをそれぞれ$ f(x),g(x)の$ x\rightarrow aのときの極限とすると、1~4が成り立つ。
1. $ \lim_{x\rightarrow a}(f(x)\pm g(x))=l\pm m
2. $ \lim_{x\rightarrow a}cf(x)=cl,c\in\R
3. $ \lim_{x\rightarrow a}f(x)g(x)=lm
4. $ \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{l}m,m\ne0
rd.2.1
$ a,l,m\in\Rとする。$ x = aの近くで定義された関数$ f(x),g(x)が$ \lim_{x\rightarrow a}f(x)=l,\lim_{x\rightarrow a}g(x)=mをみたすとき、$ \lim_{x\rightarrow a}(f(x)+g(x))(f(x)-g(x))を求めよ。
$ \lim_{x\rightarrow a}(f(x)+g(x))(f(x)-g(x))=\lim_{x\rightarrow a}(f(x)+g(x))\cdot \lim_{x\rightarrow a}(f(x)-g(x))
$ = (l+m)\cdot(l-m)
$ = l^2-m^2.
rd.2.2
$ \lim_{x\rightarrow 2+0}\frac{1}{x-2}
分数関数の分子が収束して0、分母が収束して$ \alphaなら$ \frac{f(x)}{g(x)}も収束して$ 0なのではなかったか？
わすれたがこのような定理があったような。あとで調べる。この場合は分子が1なので当てはまらないけれど
$ t = x-2とおくと、$ x\rightarrow +2のとき$ t\rightarrow+0.
よって$ \lim_{x\rightarrow 2+0}\frac{1}{x-2}=\lim_{t\rightarrow +0}\frac{1}{t}
$ = +\infin.
th.2.2
$ a\in \Rとし、$ f(x),g(x)を$ a = x近くで定義された関数とする。このとき次の1~4が成り立つ。
1. $ \lim_{x\rightarrow a}f(x)=+\infinであり、ある$ c\in\Rに対して、$ g(x)\ge cならば、$ \lim_{x\rightarrow a}(f(x)+g(x))=+\infin
2. $ \lim_{x\rightarrow a}f(x)=+\infinであり、ある$ c> 0に対して、$ g(x)\ge cならば、$ \lim_{x\rightarrow a}f(x)g(x)=+\infin.
3. $ \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\pm\infinならば、$ \lim_{x\rightarrow a}\frac{1}{f(x)}=0.
4. $ \lim_{x\rightarrow a}f(x) = 0,$ f(x)>0ならば、$ \lim_{x\rightarrow a}\frac{1}{f(x)}=+\infin.
th.2.3
$ a\in\Rとし、$ f(x),g(x)を$ x=aの近くで定義された関数とする。$ x= aの十分近くにある任意の$ xに対して、$ f(x)\le g(x)が成り立ち、$ f(x),g(x)がそれぞれ$ l,m\in\Rに収束するならば、$ l\le mである。
問題
2.1
$ \lim_{x\rightarrow a}\frac{cf(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\rightarrow a}cf(x)}{\lim_{x\rightarrow a}g(x)}
$ =\frac{cl}{m}.
2.2
1. $ \lim_{x\rightarrow 3-0}\frac{1}{x-3}
$ t:=x-3とおくと$ x\rightarrow3-0のとき$ t\rightarrow-0.
$ 与式=\lim_{t\rightarrow -0}\frac{1}{t}
$ =-\infin.
2. $ \lim_{x\rightarrow 2+0}\frac{1}{2-x}
$ t:=2-xとおくと$ x\rightarrow 2+0のとき$ t\rightarrow+0.
よって$ 与式=\lim_{t\rightarrow+0}\frac{1}{t}
$ =+\infin.
3. $ \lim_{x\rightarrow -\frac{3}{2}+0}\frac{4}{2x+3}
$ 4t=2x+3となればよいので？
$ t=2x+3とおくと$ x\rightarrow-\frac{3}{2}+0のとき$ t\rightarrow+0.
よって$ 与式=\lim_{t\rightarrow+0}{\frac{4}{t}}
$ =だｍじじゃん
いやアリか。0で割るという操作を直接しているわけではないからこの場合は良いのか。
$ =+\infin.
2.4
$ f(x),g(x),\lim_{x\rightarrow +\infin}f(x)=+\infin,\exist c\in\R,g(x)\ge cのとき$ \lim_{x\rightarrow +\infin}(f(x)+g(x))=+\infinが成り立つ。
このことを用いて$ \lim_{x\rightarrow +\infin}\frac{x^2-\sin^2 x}{x-\sin x}を求めよ。
$ 与式=\lim_{x\rightarrow +\infin}(x+\sin x)
ここで$ \lim_{x\rightarrow +\infin}x=+\infin,\sin x\geq-1であるからth.2.2-1より極限は$ +\infin.
2.5
$ \lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^\frac{1}{x}を求めよ
$ t:=\frac{1}{x}とおく。
1. $ x\rightarrow +0のとき$ t\rightarrow +\infin
$ 与式=\lim_{t\rightarrow +\infin}\left(1+\frac{1}{t}\right)^t=e.
$ \because \lim_{x\rightarrow +\infin}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e（これは別途証明が必要なやつ）.
2. $ x\rightarrow-0のとき$ t\rightarrow -\infin
$ 与式=\lim_{t\rightarrow -\infin}\left(1+\frac{1}{t}\right)^t=e.
よって極限はe.
§3 関数の連続性（その１）
def.3.1 関数の連続性
$ a\in\Rとし、$ f(x)を$ x=aとその近くで定義された関数とする。
等式$ \lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)が成り立つとき、$ f(x)は$ x=aで連続である。
ただし、$ f(x)が$ x>aとなる$ x=aの近くで定義されている場合は等式の左辺は右極限で$ f(x)は$ x=aで右連続であるという。
左も同様
関数$ f(x)の定義域の任意の元$ aに対して$ f(x)が$ x=aで連続であるとき$ f(x)は連続であるという。
形式化できそう
th.3.1 $ a\in\Rとし、$ f(x),g(x)を$ x=aで連続な関数とする。このとき、次の1~4が成り立つ。
1. $ \lim_{x\rightarrow a}(f(x)\pm g(x))=f(a)\pm g(a)
2. $ \lim_{x\rightarrow a}cf(x)=cf(a),c\in\R
3. $ \lim_{x\rightarrow a}f(x)g(x)=f(a)g(a)
4. $ \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(a)}{g(a)},g(a)\neq 0
すなわち、これらの左辺の関数は$ x=aで連続である。
th.3.2
$ a\in\Rとし、$ f(x)を$ x=aで連続な関数、$ g(y)を$ y = f(a)で連続な関数とする。
このとき、等式$ \lim_{x\rightarrow a}(g\circ f)(x)=(g\circ f)(a)が成り立つ。
すなわち、左辺の関数はx=aで連続
rd.3.1
2．１変数関数の微分
§4 関数の微分
§5 平均値の定理
§6 高次の導関数
§7 テイラーの定理（その１）
§8 べき級数
3．１変数関数の積分
§9 定積分と不定積分
§10 定積分の性質
§11 有理関数の積分と曲線の長さ
§12 広義積分
4．多変数関数の極限
§13 関数の極限（その２）
§14 関数の連続性（その２）
5．多変数関数の微分
§15 偏微分
§16 全微分
§17 テイラーの定理（その２）
§18 陰関数定理
§19 ラグランジュの未定乗数法
6．多変数関数の積分
§20 重積分
§21 変数変換公式
§22 曲面の面積
§23 基本関係式と相補公式
§24 線積分
問題の詳細解答
参考文献
hoshihara.icon
メモ
ここまでが問題でここからは自分で書いた答えですよと明示したいが書くのが面倒