『手を動かしてまなぶ 微分積分』
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2019/8/20
§1は高校の領域と被っていたので一気にやってみた
相当嚙み砕かれている
参考文献として挙げられている書籍
杉浦
一番多く注釈に挙がっている
その他はあとでメモ
目次
1．１変数関数の極限
$ 一変数関数 \overset{\bf{def}}{\iff}\Rの部分集合で定義され、\Rに値をとる関数
def.2.1
$ a\in \Rとし、$ f(x)を$ x = aの近くで定義された関数とする。
fxがx = aで定義されている必要はない
$ x\neq aをみたしながら$ xを$ aに十分近づければ、$ f(x)をある$ l \in \Rに限りなく近づけることができるとき
$ \lim_{x\rightarrow a}f(x)=l
$ f(x)\rightarrow l\qquad(x\rightarrow a)
$ f(x)は$ x\rightarrow aのとき極限$ lに収束する
すべて同じこと
$ x\neq aをみたしながら$ xを$ aに十分近づければ、$ f(x)を限りなく大きくできるとき
$ \lim_{x\rightarrow a}f(x)=+\infin
$ f(x)\rightarrow +\infin\qquad （x\rightarrow a）
負の無限大も同様の定義
$ x>aをみたしながら...と置き換えた場合
$ \lim_{x\rightarrow a+0}f(x)= lと表し、$ lを右極限という
$ x<aをみたしながら
$ \lim_{x\rightarrow a-0}=l
左極限
$ \lim_{x\rightarrow a+0}=\lim_{x\rightarrow a-0}=lのとき極限が定義される
ex.2.1
$ a,l\in\Rとすると、定数関数$ f(x)=lの極限について
code:tex
\begin{align}\lim_{x\rightarrow a}l &= l,\lim_{x\rightarrow a+0}=l,\lim_{x\rightarrow a-0}=l\\
\lim_{x\rightarrow a}x &= a,\lim_{x\rightarrow a+0}x=a,\lim_{x\rightarrow a-0}=a\end{align}
が成り立つ。
行番号いらんhoshihara.icon
あとでしらべる
ex.2.2
$ x>1のとき、$ |x-1|=x-1なので
$ \lim_{x\rightarrow 1+0}\frac{2x-2}{|x-1|}=\lim_{x\rightarrow 1+0}\frac{2(x-1)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1+0}2=2
$ x<1のとき、$ |x-1|=-(x-1)なので
$ \lim_{x \rightarrow 1-0}\frac{2x-2}{|x-1|}=\lim_{x \rightarrow 1-0}\frac{2(x-1)}{-(x-1)}=-2
極限なし
ex.2.3
関数$ f(x)=\frac{1}xの極限
$ \lim_{x\rightarrow +0}\frac{1}{x}=+\infin
間違えとる
いやあってる
$ \lim_{x\rightarrow -0}\frac{1}x=\xcancel{+\infin}\color{red}-\infin
$ \therefore極限なし
§3 関数の連続性（その１）
2．１変数関数の微分
§4 関数の微分
§5 平均値の定理
§6 高次の導関数
§7 テイラーの定理（その１）
§8 べき級数
3．１変数関数の積分
§9 定積分と不定積分
§10 定積分の性質
§11 有理関数の積分と曲線の長さ
§12 広義積分
4．多変数関数の極限
§13 関数の極限（その２）
§14 関数の連続性（その２）
5．多変数関数の微分
§15 偏微分
§16 全微分
§17 テイラーの定理（その２）
§18 陰関数定理
§19 ラグランジュの未定乗数法
6．多変数関数の積分
§20 重積分
§21 変数変換公式
§22 曲面の面積
§23 基本関係式と相補公式
§24 線積分
問題の詳細解答
参考文献